Кинематичен анализ на ХЕКСАПОД (HEXAPOD) роботи

ДИПЛОМНА РАБОТА

Увод

В тази дипломна работа са разгледани въпросите, свързани с кинематиката на HEXAPOD металорежещи машини, изчисляването на правата и обратна задача на кинематиката и построяване плана на положението на HEXAPOD, както и конструирането на кинематичната схема.

В раздел I. oт дипломната работа са отразени най-новите технологии на HEXAPOD конструкциите, тяхното естетическо изпълнение, както и продуктивното им приложение в световните технологии.

 Към раздел II. oт дипломната работа е включено кратко въведение в характеризирането на HEXAPOD - статично и динамично масово разпределение, демпфиращо разпределение, динамично състояние, статично-деформационно състояние, процес рязане на металите, точност.

В III. и IV.  раздел са рагледани принципните въпроси, свързани с обратната кинематична задача, числената интерпретация на обратната задача и възможността да построим и да намерим желаните положения на HEXAPOD.


I. Интернет обзор

Фиг. 1 HEXAPOD

Hexapod е с шест  степени на свобода. Работи във всички посоки.

Товароподемността му е 200 kg във вертикална посока, а във всяка друга случайна посока неговата товароподемност е - 50 kg.

Изключително компактен e за 6-степенното си позициониране, в сравнение с конвенционалните 6-осни позициониращи системи.

Осъществява позициониращ контрол по зададени координати или точка на завъртане.

Извършва праволинейни и кръгови движения по всичките си оси.

В сравнение  с класическите ъгломери (гониометри) Hexapod притежава по-голяма гъвкавост, a в сравнение  с конвенционалните мултиосни системи- по-голяма твърдост: при резонансна честота 500 Hz натоварването е 10 kg (и това е важно за потискането на вибрациите).

От фиг. 1 и фиг 1а се вижда как изглежда Hexapod.

Фиг.1a

M-800 Hexapod има шест крака (подвижни и променящи дължината си подпори),  съединяващи горната и долната платформа по гъвкав начин. Подобен на позициониращите системи, използвани при летателните симулатори, Hexapod е първата система, пусната в продажба, в която е въведена изключително прецизна (sub-micron resolution) техника за позициониращи системи.

Във всички движещи се части и стабилни свръзки на Hexapod се използват компоненти с изключителна твърдост и точност, което действително води до необикновено висока честота (500 Hz при 10 kg натоварване). И шестте крака на Hexapod променят дължината си при промяна на платформата само в една от желаните посоки, а от друга страна,  ако само една от подвижните подпори промени дължината си, това ще повлияе и на шестте координати (X,Y,Z,XI,YI,ZI). В това се състои предимството и предизвикателството на Hexapod конструкцията. Дванадесет степени на свобода биха осигурили гаранция за направляваща прецизност и недопускане на мъртъв ход (хлабина). Използвани са CAD (Computer Aided Design) и FEA (Finite Element Analysis) и компютърни програми за оптимизация.

За разлика от конвенционалните мултиосни позициониращи системи, където смяната в едната координата дава неблагоприятно отражение във всяка точка по дадена ос и нейните координати системата М-800 Hexapod, автоматично компенсира всякакви нежелани движения.

М-800 Hexapod се доставя с интелигентен DC  контролер с RS-232 интерфейс и удобен софтуер. Софтуерът позволява позициониране чрез  директо задаване на координатите X, Y, Z и XI, YI ,ZI. Софтуерът позволява също и лесното програмиране на редица последователни движения.

• Обща информация за изследванията в областта на hexapod проектирането в Уайомингския университет

Фиг.2

В университета на Уайоминг, САЩ изследователска група се занимава с изследвания за подобряване на конструкцията и приложението на Hexapod системите за прецизно позициониране и изолация на вибрациите. Тези изследвания са инициатива на доктор Джон Е. Макенрой. В продължение на на две лета, той е специализирал в лабораториите на NASA.

Показаната на фиг. 2 снимка на Hexapod е втора генерация на този вид конструкции. За тази структура и прецизно изпълнение много се дължи на NASA JPL’s Hexapod. Изследването се ръководи от университета  в Уайоминг като е спонсорирано от BMDO/AFOSR и ARO, директо от програма EPSCoR.

Хората могат да получат достъп до Web-страницата или достъп до университета Уайоминг, да разглеждат тяхната програма еднакво и без значение от произхода, цвета, националната принадлежност, пола, възрастта, религията и политическите убеждения.

  Характеризиране, Отдалечен достъп, Симулация на Hexapod машини

Дейността се спонсорира се от NIST(National Institute of Standarts and Technology).

Категории:

производство;

дистанционно управление;

сътрудничество;

Визия:

Обезпечаване на дистанционното управление, набиране на информация и симулиране на нов клас паралелно задвижващи се машинни инструменти за основни операции от ниско ниво, в сътрудничество в областта на изследванията на машинните инструменти.

Фиг.3

Сътрудничетвото в тази област ще изисква двупосочен обмен на данни - видео и аудио информация, съвместно използване на резултатите от изследванията. Заедно с резултатите от симулацията и чрез дистанционното използване на машинните инструменти на ниско ниво се осъществява контрола на движението. Изисква се време за отговор в момента на визуалния поток от данни, както и се най-малко 80 MB/sec скорост за обмен на информацията.

Текущите Интернет-технологии все още не могат да предоставят цялата информация за обзора на Hexapod-машините по достатъчно ефективен начин.

описание:

Hexapod-машините са нов клас паралелно задвижвани машинни инструменти, служещи за основа на Stewart Platform.

Механизмите на многоосните машини представят нови възможности за високи скорости, висока точност, висока твърдост.

Много учени стоят зад характеристиките на тези Hexapod-машини. Те желаят да видят голямото им разпространение и продуктивно приложение.

Целите на всеки проект, свързан с Hexapod са насочени към развиване методите за характеризиране и разширяване границите на изпълнение и представяне на Hexapod-машините в срокове за точност продуктивност и гъвкавост.

Развитие в инструменталното производство на реални производствени технологии.

Има три главни области, които представляват интерес при разглеждане на Hexapod-конструкциите:

1) характеризиране на Hexapod-машините за по-доброто изследване на тяхното поведение;

2) съществува възможност за снабдяването на Hexapod с датчик, контролиращ и преработващ информацията в звукови и визуални данни;

3) симулацията на Hexapod машините има за цел да установи грешките в структурата и динамиката им.

рационално при производството е:

Бързата продукция и качество на контурните части изискват машинните инструменти да са с комбинирана скорост, точност на позициониране и коравина. В допълнение производителите следят за качеството и конфигурацията на машините.

В новия клас от паралелно действащи машинно-инструментални бази на Stewart Platform механизмите представляват нови възможности за посрещане на тези нужди.

Hexapod изисква директен звуков и визуален достъп до машините.

Кинематика

Права и обратна кинематика

Правата кинематична задача се занимава с проблеми като определяне дължината на структурните звена достигащи позиция и ориентиране към крайно въздействие.

Обратната кинематика е проблем, определен с показване на крайно въздействаща позиция и ориентация достигаща до структурата на дължините на звената.

Какво е паралелна кинематика?

Паралелната кинематика е представена - затворена кинематична последователност.

Движението на платформата се извършва от независимо задвижване. Това задвижване примерно може да задейства главния шпиндел за извършване на механичен процес или приспособление за захващане и извършване на зададената програма.

Паралелната кинематика може да се конфигурира до задоволяване на всички варианти.

използване на 6 степени на свобода (3 ротации и 3 транслации)

Hexapod-машините са повече известни с паралелната си кинематика.

Предимствата на паралелната кинематика:

1) ниска маса

2) висока скорост и ускорение

3) множество от обикновени части

4) издържливост на частите на натиск

5) интегриране по точност - влияние на грешките в контролера (УУ) или пуско-регулиращ елемент


STEWART PLATFORM

Правата и обратна форма на Stewart Platform

Обратната форма на Stewart Platform се осъществява на паралелна връзка.

Манипулаторите са с изключителни конструкции.

Работата се осъществява чрез платформи.

И двете версии за контрол на тази платформа могат да боравят с 6-те степени на свобода (DOF) X,Y,Z ос разположени на определен ъгъл.

Stewart Platform имат приложение в машинно-инструменталните технологии, подемно-крановите технологии, подводните изследвания, въздушни и морски спасявания, летателно възпроизвеждане и базиране на сателитни чинии.

Фиг.4

Обратната форма или обръщане на Stewart Platform е равностранен триъгълник, окачван в осмостенна рамка с шест изпълнителни механизми - по два нанизвани и прикрепени от всеки ъгъл на провесване на платформения триъгълник. Всяка двойка от ненанизаните механизми е прикрепена до най-високата точка на върха на триъгълника.

Управляваните механизми позволяват опорите да борават с платформата чрез 6-те степени на свобода.

Много от изследванията и развитието на Stewart Platform се ръководят от националния институт за стандарти и технологии (NIST).

Обща представа

Приложение на обратната форма на Stewart Platform

Фиг. 4.1

 

 

 

Конструкции:

1) на земя: обратната форма на Stewart Platform може да се използва за възстановяване конвенционалността на подемно-кранови технологии. Крановете са снабдени с оператор за по-голям контрол на крана. NIST има развитие на подемните кранове и усъвършенстване на някои от тях познати като ROB OCRANE;

2) в морето: Stewart Platform може да бъде окачена за единичен плавателен съд или на платформа във водата за използване под водата за сондиране, полагане на тръбопроводи, за спасяване на кораби;

3) във въздуха: Stewart Platform може да се използва за възстановяване на оптични кабели и развитие на летателните технологии. Общоприето е и използването им в хеликоптери, особено при въздишни и морски спасявания;

4) в пространството: Stewart Platform може да се видоизменя за използването на LUNAR ROVER

5) в комуникациите: манипулаторът на Stewart Platform се използва за позициониране на сателитни чинии, на суша и за разположението и контрола на движението на корабите в морето

производство:

Stewart Platform е приложима в машинно-инструменталните технологии за машинното производство.

Hexapod е изключително заводска машина, която може да борави с 6 степени на свобода. Конвенционалните заводски машини може да бъдат само работещите по 3 или 4 оси (x,y,z и ротация).

транспортиране:

Възможно е Stewart Platform да се използва при летателните симулации. Това се дължи на 6-те степени на подвижност (x,y,z) и ротации в следствие ъгъла на завъртане. Това помага на учените за откриване на грешки при самолетостроенето.

На фиг.4.1 е показан естествен, нормален изглед на модел на Stewart Platform, а на фиг.4.2 е представена векторна верига за движещите се подпори (крака), която илюстрира и дефинира тяхното пространствено разположение

Фиг. 4.2.

Базата на координатната рамка {B} е условно (произволно) вложена и това се отнася за базата {P}, която също е условно вложена. Връзката между базите се осъществява с {libli}.

изчислена твърдост:

Тя е развита в коравинната теория за главните шест степени на свобода на Stewart Platform и приложена към SMARTCUTS системите.

Приносът на Stewart Platform в този вид работа е в разбирането на твърдостта, анализирайки изразите:

-                     Изчисляването на главната твърдост (която дефинираме като товар, приложен и разделен като количество усукване - изкривяване)

-                     Твърдост по направление на произволна посока, например по траектория X

-                     Максимална/минимална твърдост и нейните съответстващи посоки.


Плана (чертежа) на SMARTCUTS механизма

Планови цели

За работещите прототипи и главните планови цели на SMARTCUTS механизма са:

1) висока твърдост

2) обширно работно пространство с правилна геометрия

3) добра производителност

Фиг.5

Работен план:

Твърдостта е функция от механичното положение и ориентация. Тя трябва да задоволи изискванията за цялото използване на работното пространство.

Работното пространство е възможно и да не бъде голямо, но също така да има форма, която позволява разнообразие на използваните операции.

Механизмите могат също и да имат добра производителност. Типизацията варира от ъгли, които за затворени (ограничени), с ограниченията на работното пространство. За пример обширното работно пространство се постига с добре разтеглящи се и имащи минимална дължина 3 крака (опори).


План на опорите (краката):

Изпълнителен механизъм

Изпълнителните механизми се разглеждат като хидравлични цилидри със сферично-ставни шпиндели.

Цилиндрите са по-надеждни, защото имат малък ход.

Шпинделите изискват редукция на механизма по площи оттам намаляване на високите въртящи моменти на двигателя.

Структура:

Трите изпълнителни механизма поемат цялото натоварване в мястото на движение, но не повече.

SMARTCUTS

Обективно чрез този проект е построен модула с 3 DOF степени на свобода паралелно свързани (PLM). В SMARTCUTS-проекта системата е планирана и се състои от платформа, която е съединена в една обща база 3 звена с контролни дължини. Тези звена са източници на степените на свобода на системата, звената са съединени в двете платформи и са бази на ротация. Те са три (RPR) - призматични - ротационни системи.

На тези системи степените на свобода са движението на платформата по зададената повърхнина (2DOF). Например, платформата може да се премества по (X,Y) оси.

На фиг.6 и фиг.7 са представени други видове конструкции HEXAPOD, които намират приложение в подемно-кранови технологии и различните ремонтни производства.

фиг.6

фиг.7

II. Кратко въведение в металорежещиte роботи HEXAPOD

Металорежещите машини Hexapod се състоят от две подсистеми.

1) Механична (носеща) подсистема

Механичната, наричана още носеща, подсистема притежава нелинейност тип „хистерезис“.

Входен параметър за изчисленията на подсистемата е силата на рязане, която се отчита във входната координатна система OXYZ.

Изходни параметри, които се наричат още отговор на системата, представляват статичните и динамични премествания на точките на типологичната схема по направление s = X,Y,Z,a, b, g.

По-нататък са представени два вида анализ - статичен и динамичен, и в тях са използвани два вида базисни координати.

X - обобщени физични координати, които представляват преместванията на точките на топологичната схема по направление s = X,Y,Z,a, b, g.

v - главни координати зависещи единствено от масовото и коравинно разпределение зададено от конструктора.

S=1,2,3,... - номер на локалната изходна координатна система

i=1,2,..., n - номер на точките от топологичната схема

v=1,2,...,N - номер на главната координата

s = X,Y,Z,a, b, g - вид (линейно или ъглово) на преместването или натоварването

2)  Подсистема на процеса рязане на металите

Като входен параметър се явява преместването на масовата точка P по направление s (дебелината на срязвания слой метал). Изходен параметър е силата на рязане. В тази подсистема се използват следните по-важни означения:

 - вектор на дебелината на срязвания слой метал

 - вектор на силата на рязане

 - коравина на процеса на рязане на металите,

където sq = X,Y,Z,a, b, g

Фиг. 8  Кинематична схема на Hexapod структура


Статично и динамично коравинно разпределение

След експерименталното определяне на системната и честотна субматрица   (i=1,2,...,n); sq = X,Y,Z,a, b, g за статичните коравини на механичната подсистема получаваме:

където

 - амплитудно-фазовата характеристика, получена в търсената точка при възбуждане в направление sq = X,Y,Z,a, b, g

 - присъединена матрица на матрицата  при w = 0

 - детерминанта на  , w = 0

В случая когато Hexapod структурата е почти линейна, то матрицата  е симетрична относно елементите на главния диагонал.

Динамичното коравинно разпределение определяме съгласно уравнение

wv - собствена честота, (v=1,2,...,N)                          [s-1]

*Демпфиращо разпределение

честотна субматрица преобразуваме във вида:

 (i=1,2,...,n);

За физическите стойности на коефициентите на демпфиране получаваме

където

 - присъединена матрица на матрицата

 при w = wv           (v=1,2,...,N)   

Статично деформационно състояние

Определя се съгласно векторно-матричното уравнение

където

 

- статична деформация в i-тата точка на топологичната схема по направление sq = X,Y,Z,a, b, g

вектор  представлява абсолютна статична грешка на HEXAPOD.

• Динамично деформационно състояние

Динамичното деформационно състояние се представя чрез субматрицата на собствените колебателни форми (модална суб-матрица)

 

(v=1,2,...,N), (i=1,2,...,n)

Тотално масово, коравинно, демпфиращо и амплитудно разпределение

Тоталната системна честотна матрица на HEXAPOD структурата се образува от системните честотни субматрици , съгласно уравнението

, (i,j=1,2,...,n)                          

индекс i - представлява номера на точка от топологичната схема, в която се определя системната честотна субматрица

индекс j - представлява номера на точката от топологичната схема, с която се прилага възбудителното усилие по направление

Матрицата  е уникална за зададената конфигурация, на HEXAPOD. Структурата й е изцяло дефинитивна относно статико-динамичното й състояние.

Тоталната матрица на масите се образува от субматриците на масите по следния начин :

 , (i,j=1,2,...,n)

където общият елемент Mij представлява сила, която действа по направление  на i-тата точка и създава единично (мигновено) ускорение по направление  на j-тата точка.

Тоталната матрица на стастичните коравини се образува от субматриците на коравините , както следва:

 , (i,j=1,2,...,n)

където общият елемент Kij  представлява сила, която действа по направление  на i-тата точка и създава единично (мигновено) ускорение по направление  на j-тата точка.

Тоталната матрица на демпфирането се образува от субматриците на демпфираното , както следва:

 , (i,j=1,2,...,n)

където общият елемент Cij представлява сила, която действа по направлението  на i-тата точка и създава единична скорост по направление  на j-тата точка. Елементите Cij се образуват като сума от „течно триене“ и тип „хистерезис“. Тоталното амплитудно разпределение се представя чрез тоталната матрица на собствените колебателни форми (тотална модална матрица), която се образува от субматриците на собствените колебателни форми (модалните субматрици), както следва:

 , (i,j =1,2,...,n)

където общият елемент mij представлява модалната амплитуда по направление  на i-тата точка за v-тата собствена честота, създадено от динамичната сила по направлението  на j-тата точка, която има същата честота.

 • Динамично състояние

В базиса на нормализираните главни координати (т. нар. нормални координати) {h} = {h1,h2...,hv,..., hN}T динамичното състояние на HEXAPOD-структурата се представя чрез уравнението:

където:

 - нормализирана модална матрица

 - единична матрица на масите

 - матрица на демпфирането

 - матрица на коравините

 - вектор на нормализираните сили на рязане

 • Структурни изменения

Когато конструктура извърши масови  демпфиращи  и коравинни  изменения на HEXAPOD структурата, получава вида:

 - матрица на масите на модифицираната HEXAPOD структура

 - матрица на демпфирането на модифицираната HEXAPOD структура

 - матрица на коравините на модифицираната HEXAPOD структура.


 • Процес рязане на металите

В случая, когато процесът рязане на металите протича устойчиво (без автоколебания), за постоянната сила на рязане можем да запишем

където:

 , () - статична сила на рязане

 , () - статична коравина на рязане на металите

 -  , () - статична дебелина на срязвания слой метал

Чрез силата , определена от  и чрез уравнение  при идентифицираната системна честотна субматрица , се определя статичната деформация  (i =1,2,...,n) , () на модифицираната HEXAPOD структурата, респективно статична точност на обработка.

Когато процесът рязане на металите протича неустойчиво, т. е. възникват устойчиви гранични цикли (автоколебания), за променливата сила на рязане можем да запишем

където:

 , () - динамична(променлива) сила на рязане;

 ,( ) - променлива съставна на дебелината на срязвания слой метал.

 - времезакъснение


 • Точност

При единично смущение  на устойчивата HEXAPOD металорежеща машина, за изменението на силата на рязане  можем да запишем:

Ако означим с  абсолютната статична грешка, то за статично уравновесената HEXAPOD структура е използвано равенството:

където

Субматрица на коравината на HEXAPOD структурата в точка  на топологичната схема, т. е. във входа на системата.


III. Основи на кинематиката

1)Установяване на методи за определяне закона на движение спрямо дадена координатна система;

2)Изучаване на кинематичните характеристики;

3)Намиране на удобни формули, чрез които бързо да се определят траекторията, скоростта, ускорението.

От кинематиката познаваме две основни кинематични задачи:

1) права задача;

2) обратна задача.

• Анализ на обратната кинематична задача при отворени системи

Обратната задача за положението на манипулатора при отворени системи:

С нея се определят обобщените координати qi (i =1,2, ... n) по зададени в опорната координатна система положения на работния орган или на някое от звената на манипулатора.

При отворените системи са възможни 3 варианта за положението на манипулатора:

1) Задава се едно положение на хващача, т. е. един набор скаларни величини rj (j =1,2, ... m) и се определя една конфигурация на манипулатора (или няколко, ако решението е нееднозначно);

2) Задава се краен брой положения на хващача и се определят съответните конфигурации на манипулатора (и тук за някое от положенията на хващача може да се определят няколко конфигурации);

3) Задава се закона на движение на хващача във времето по rj = rj (t) (j =1,2, ... m) и се определят законите на изменение на обобщените координати qi = qi (t) (i =1,2, ... n).

Обратната задача е по-сложна от правата. В много случаи тя може да се реши само числено.

Задачата за изчисляването на линейните скорости и ускорения на някои точки на манипулатора, а също така и ъгловите скорости и ускорения на звената му е тясно свързана с правата и обратна задача за положението на манипулатора.

Кинематика на манипулатора с отчитане само на преносните степени на подвижност (фиг. 9.1, 9.2, 9.3).

Разглеждаме типовете компановки на роботи.

Първата компановка е на робот, който работи в пространствена цилиндрична координатна система.

Втората е на робот, работещ в сферична координатна система.

Третата е на робот, на който всички степени на подвижност са въртеливи, т. е. това е т. нар. шарнирен робот.

При известни координати на съответната компановка могат да се определят координатите Xp, Yp, Zp на полюса, свързан твърдо със захвата, а именно:

а) при робот, работещ в цилиндрична координатна система (фиг.9.1)

фиг. 9.1

                  

 

 

 


б) при робот, работещ в сферична координатна система

Фиг.9.2

                  

 

 

 


в) робот, работещ в шарнирни връзки

Фиг.9.3

На базата на тези уравнения може да се решат правата и обратна задача.


Кинематика на манипулаторите с отчитане на преносните и ориентиращите степени на подвижност фиг. 10

Фиг. 10

Разглеждаме две координатни системи  и  зададени с единичните вектори, съответно  и . Начало  на координатната система  е зададено с проекциите си  на вектора  на координатна система , т. е.

Необходимо е да опрeделим връзката между координатите на една и съща точка P в различни координатни системи , ,т. е. между радиус-векторите на точката P:

Зададени с проекциите си на осите на различните координатни системи. Тази връзка може да се запише във векторно-матрична форма, по следния начин:

 

 

При зададен вектор

При зададен вектор

където:

 - матрица на завъртането

Тази матрица притежава следното свойство:

 

Двете координатни системи се считат за десни.

При определяне конкретния вид на матрицата на завъртането :

а) Когато системата  е завъртяна за ъгъл  спрямо системата  и

Фиг.11

Ако  са известни координати на точката P, в координатната система , то координатите на същата точка P спрямо

При завъртане около  на ъгъл  и  на ъгъл , съответно се получава:

 

 

Когато едновременно завъртим тези системи последователно на ъгъл  можем да запишем:

• Анализ при правата задача за отворена система

Положението на кинематическата верига в пространството се определя с обобщените координати , характеризиращи релативните премествания на отделните съседни звена, разбира се когато отворената кинематична верига не съдържа в себе си вътрешни затворени контури. Положението на работния орган в пространството ще се оперделя чрез координатите , т. е. необходимо е да въведем шест скаларни величини.

При правата задача се определят координатите   на работния орган при зададени обобщени координати

Възможни са три варианта на тази права задача:

1) При зададени един набор n скаларни величини се определя някаква фиксирана конфигурация на манипулатора и съответните координати на хващача;

2) При зададени няколко набора n скаларни величини се определят няколко фиксирани конфигурации на отворената кинематична верига на манипулатора и съответните координати на хващача;

3) При зададени n непрекъснати функции на времето  се определят законите , по които се движи полюса на хващача в пространството.

С тази задача се решават следните въпроси:

- определят се геометрическите характеристики на работното пространство и работната зона;

- точностните характеристики, примерно грешките,  на координатите на хващача , които се обуславят от неточното изготвяне на елементите на манипулатора или от грешките  на отработване на относителните премествания  в кинематичните връзки;

- сервизните характеристики.


IV. Кинематичен анализ при затворена HEXAPOD структура

Фиг.12

Кинематичен анализ при обратната задача:

За текущото положение на входната координатна система Oxyz в работната зона на HEXAPOD структура, можем да запишем:

където:

X, Y, Z - ходове на сервозадвижванията, разположени по оси OX, OY, OZ

 (i,j = 1,2,3) - матрица на завъртането на координатна система PXYZ

aij - трансцедентни функция на завъртането a,b,g, които се получават при умножение на матриците на завъртането

Примерно при завъртане в порядъка g,a,b матрицата  ще се получи съгласно равенството:

 - вектор, който еднозначно оперделя ортогоналното релативно разположение на координатните системи  и .

От (1) следват уравненията:

                                                    (2)

При умножението на матриците

След умножението се получава

  (3)

Проверка за правилно умножената матрица:

Полагам b=0 и g=0, за да получа

Полагам g=0 и a=0, за да получа

Полагам a=0 и b=0, за да получа

След като сме направили проверка за правилното умножение на матрицата, заместваме получената матрица (3) в уравнение (2).

                                      (4)

 

Чрез уравнение (4) при зададени по технологична целесъобразност закони  и ъгли  (примерно от изискването за перпендикулярност на режещия инструмент относно формообразуваната повърхнина), управляващата микропроцесорна система изчислява в режим на реално време стойностите на ходовете , които се реализират от сервозадвижванията по оси .

Уравнение (4) представлява обратната задача на плана на положението на HEXAPOD структурата.

Задаваме стойностите на:

 mm                  mm

 mm                   mm

 mm                    mm

 

                                           

 

Тези стойности ги заместваме в уравнение (4), за да изчислим различните ходове .

Таб.1


Таб.2

Таб.3


Таб.4

Таб.5


При правата задача се задават ходовете  и се определят съответните стойности на функциите  и  - тази задача, в случая на използване на HEXAPOD структурата за формообразуване чрез рязане, няма смисъл.Тази задача е свързана с опеделянето на размерите на работната зона, скоростите, ускоренията на точките на топологичната схема. При известно масово разпределение на HEXAPOD структурата се определят инерционните сили  и .

Съгласно уравнения (1) и (2), като отчетем, че , след диференциране получаваме скоростите и ускоренията на МП:

                     

Необходимо е да бъдат изпълнени условията:

където:

- конструктивно зададени ходове на сервозадвижванията.

Необходимо е да бъдат изпълнени и условията, наложени от възможностите на сервозадвижванията:

                              

където:

 и  - максимални стойности на скоростите и ускоренията, които могат да се реализират от сервозадвжванията по оси .

В случая на неортогоналност на трите МП на HEXAPOD структурата (разполагат се обикновено симетрично в пространството) е необходимо да се задават конструктивно съответните скаларни съставни на векторите  (s = x,y,z). Конструктивно се задава и провисването на входната координатна система PXYZ спрямо локалните изходни OsXsYsZs. Анализът, свързан с управлението на структурата не се променя.

В случая, когато конструктивно се задават втори МП във всеки паралелен клон на HEXAPOD структурата, то необходимо е да се определят  за всяка тройка МП по аналогичен начин.

За целта конструктивно се задават скаларните съставни на векторите  (s = x,y,z). за първата тройка МП на всеки паралелен клон на HEXAPOD-структурата, така, че да бъде изпълнено условието

 

Чрез уравнение (1) или (2) се определят ходовете  на този МП.

Аналогично се задават конструктивно векторите  (s = x,y,z). за втората тройка МП на всеки паралелен клон на HEXAPOD структурата.

от конструктивна гледна точка .

Чрез уравнения (1) или (2) се определят ходове   на този МП.

Съгласно неравествата

;  

се съгласуват преместванията, скоростите и ускоренията съответно  с тези на конструктивно избраните 6 еднакви сервозадвижвания на HEXAPOD-структурата.

За да се определят съответните стойности на функциите  трябва да умножим транспонираната матрица (4)  с ходовете X,Y,Z.

                     (5)

 (6)


V. Определяне и построяване на графо-аналитични резултати

Фиг. 13

Построяването и определянето на графо-аналитичните резултати се прави въз основа на числената интерпретация на обратната кинематична задача.

За построяването на плана на положенията на HEXAPOD от фиг. 13 - са зададени три положения от таблиците, т. е. ходове X,Y,Z и a, b, g.

Ходовете се получават от уравнение (4) при зададени по технологична целесъобразност закони  и ъгли a, b, g.

Всяко графично построение и кинематична схема се определят с мащабен модул

Kl [m : mm].

Използвана литература

1. Интернет

2. Средков, Кр., Автоматизация, роботизация и ГАПС, Варна, 1989

3. Писарев, А., Параскевов, Ц., Бъчваров, С., Курс по теоретична механика, част I

 


Настоящата тема може да използвате непосредствено, след като я изкопирате и запазите във файл (MS Word формат).


Ако желаете, може да получите файла 1010304.doc на Вашия e-mail адрес, след като заплатите on-line 3 лева чрез ePay по фирмената ни микросметка.
Може да платите и от банкомат   (чрез B-pay), но е необходимо да ни известите с празен e-mail, в който полето Относно/Subject да съдържа текст от вида: ПЛАТЕНО/PLATENO дд/мм/гггг чч:мм тема/tema: 1010304
платете 3 (три) лева
След като натиснете бутона ePay Now, автоматично ще бъдете пренасочени към сайта на ePay.bg, където фактически ще извършите плащането. След като платите (или не платите) системата отново ще Ви върне на нашия сайт. !!! ВАЖНО: При попълване на електронния формуляр на ePay.bg, в полето Информация, която получателят ще види за Вас, е необходимо да изберете E-mail, за да Ви изпратим файла на този, посочен от Вас, e-mail адрес